Transformasi Linear

 

 

(https://www.slideshare.net/dinanabila1/transformasi-linear-aljabar-linear-elementer)

Basis dan Dimensi

   Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v₁, v₂, v₃, ….., v_n} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

        i.            S bebas linier;

      ii.            S serentang V.

Contoh 1

Misalkan e₁ = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e₂ = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , e_n = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e₁, e₂, … , e_n } adalah himpunan bebas linier dengan Rⁿ. Karena setiap vector v = (v₁, v₂, … , v_n) pada Rⁿ dapat dituliskan sebagai v = v₁e₁ +  v₂e₂ + … + v_ne_n, maka S merentang Rⁿ sehingga S  adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rⁿ.

Contoh 2

Misalkan v₁ = ( 1, 2, 1 ), v₂ = ( 2, 9, 0 ), dan v₃ = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v₁, v₂, v₃ } adalah basis untuk R³.

Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R³, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b₁, b₂, b₃ ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

b = k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃

dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan

( b₁, b₂, b₃ ) = k₁ ( 1, 2, 1 ) + k₂ ( 2, 9, 0 ) + k₃ ( 3, 3, 4 )

atau

( b₁, b₂, b₃ ) = ( k₁ + 2k₂ + 3k₃, 2k₁ + 9k₂ + 3k₃, k₁ + 4k₃ )

atau

k₁ + 2k₂ + 3k₃               = b₁

2k₁ + 9k₂ + 3k₃             = b₂

k₁            + 4k₃             = b₃                                               (1.1)

Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b₁, b₂, b₃ ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari

k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃ = 0                                                   (1.2)

adalah k₁ = k₂ = k₃ = 0

seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut  homogen

k₁ + 2k₂ + 3k₃               = 0

2k₁ + 9k₂ + 3k₃             = 0

k₁            + 4k₃             = 0                                           (1.3)

hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian  Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R³ dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien

Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena

maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R³.

Contoh 3

Himpunan S = { 1, x, x2, … , xn } merupakan basis untuk ruang vector Pn yang diperkenalkan dalam contoh 13 pada bagian Subruang. Dari contoh 18, vector – vector pada S merentang Pn. Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa suatu kombinasi linier dari vector – vector S adalah vector nol, yakni

c₀ + c₁x + … + c_nxⁿ = 0 (untuk semua x)                                                        (1.4)

Kita harus perlihatkan bahwa c₀ = c₁ = … = c_n = 0. Dari aljabar kita ketahui bahwa polinom taknol berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda. Karena (1.4) memenuhi untuk semua x, maka setiap nilai x adalah sebuah akar dari ruas kiri, hal ini berarti bahwa c₁ = c₂ = … = c_n = 0; kalau tidak, maka c₀ + c₁x + … c_nxⁿ dapat mempunyai paling banyak n akar. Maka himpunan S adalah himpunan bebas linier.

Basis S dalam contoh ini dinamakan basis baku untuk Pⁿ.

Contoh 4

Misalkan

Himpunan S = [ M₁, M₂, M₃, M₄ ] adalah sebuah basis untuk ruang vector M₂₂ dari matriks – matrik 2 × 2. Untuk melihat bahwa S merentang M₂₂, perhatikan bahwa sebuah vector khas (matriks)

dapat kita tulis sebagai

            =

                        = aM₁ + bM₂ + cM₃ + dM₄

Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa

aM₁ + bM₂ + cM₃ + dM₄ = 0

Yakni,

Maka

Jadi, a = b = c = d = 0 sehingga S bebas linier

Basis S dalam contoh ini kita sebut baris baku untuk M₂₂. PAda umumnya, basis baku untuk M_mn sesuai dengan beda matriks mn dengan sebuah bilangan tunggal 1 dan bilangan nol untuk entri – entri sisanya.

Contoh 4

Andaikan ruang V= {u, v, w, s}, di mana:

. Cari basis dan dimensi dari ruang V!

Solusi : (Menggunakan matriks)

Basis dari V={(-1, 1 , 1), (0, -1, 3)}

 

 

sumber : 

http://sannie-putra.blogspot.com/2012/06/makalah-basis-dan-dimensi.html

Kombinasi dan Kebebasan Linear

Kombinasi Linear

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u₁, u₂,…, u_n jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

x = k₁u₁+ k₂u₂ +… + k_nu_n

dimana k₁, k₂,…,k_n adalah skalar

Contoh :

Misalkan, u = [2,-1,3]^T, v = [1,2,-2]^T, apakah x = [8,1,5]^T kombinasi linier dari u dan v.

Jawab

Perhatikan kombinasi linier x = k₁u+k₂v      

[8,1,5]^T = k₁[2,-1,3]^T + k₂[1,2,-2] ^T -> x = 3u + 2v

Dari kesamaan vektor diperoleh

Kebebasan Linear

Andaikan S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

 k₁u₁ + k₂u₂ + … + k_nu_n = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k₁ = 0, k₂ = 0,…, k_n = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier.

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3]^T, u2=[1,2,-6]^T, u3=[10,5,-15]^T adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, dimana u1=[1,-1,2]^T, u2=[-2,3,1]^T, u3=[2,1,3]^T adalah vektor bebas linier, k₁u1 + k₂u2 + k₃u3 = 0, ekuivalen,