Kombinasi dan Kebebasan Linear

Kombinasi Linear

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u₁, u₂,…, u_n jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

x = k₁u₁+ k₂u₂ +… + k_nu_n

dimana k₁, k₂,…,k_n adalah skalar

Contoh :

Misalkan, u = [2,-1,3]^T, v = [1,2,-2]^T, apakah x = [8,1,5]^T kombinasi linier dari u dan v.

Jawab

Perhatikan kombinasi linier x = k₁u+k₂v      

[8,1,5]^T = k₁[2,-1,3]^T + k₂[1,2,-2] ^T -> x = 3u + 2v

Dari kesamaan vektor diperoleh

Kebebasan Linear

Andaikan S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

 k₁u₁ + k₂u₂ + … + k_nu_n = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k₁ = 0, k₂ = 0,…, k_n = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier.

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3]^T, u2=[1,2,-6]^T, u3=[10,5,-15]^T adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, dimana u1=[1,-1,2]^T, u2=[-2,3,1]^T, u3=[2,1,3]^T adalah vektor bebas linier, k₁u1 + k₂u2 + k₃u3 = 0, ekuivalen,