Ruang Vektor dan Ruang Bagian

RUANG –N EUCLIDES

Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan Rn.

Definisi. Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn.

• u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2,…, un = vn

• u + v = [u1 + v1, u2 + v2,…, un + vn ]

• ku = [ku1, ku2,…, kun]

• u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

•  |u| = (u•u)1/2 =

Ruang Vektor

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :

(1) Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.

(2) u+v = v+u 

(3) u+(v+w) = (u+v)+w

(4) Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0

(5) Untuk setiap u di V terdapat  –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0

(6) Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V

(7) k(u+v) = ku + kv

(8) (k + l)u = ku + lu

(9) k(lu) = (kl)u

(10) 1u = u

Membangun Ruang Vektor

Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V 

Contoh :

Apakah, u=[1,2,-1]T, v=[-2,3,3]T, w=[1,1,2]T membangun R3.

Jawab :

Andaikan x=[x1,x2,x3]T vektor di R3. Bentuk kombinasi linier,

            x = k1u + k2v + k3w

[x1,x2,x3]T = k1[1,2,-1]T + k2[-2,3,3]T + k3[1,1,2]T

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier, 

k1 – 2k2 + k3 = x1

2k1 + 3k2 + k3 = x2

–k1 + 3k2 + 2k3 = x3