sifat dan dekomposisi matriks

Sifat dan Dekomposisi Matriks

Sifat Sifat Determinan

1.    Jika A^T transpose dari matirks A, maka :

det (A) = det (A^T)

·         Jika elemen satu baris (kolom) matriks A = 0, maka :

det (A) = 0

·         Jika dua baris (kolom) matriks A adalah sama (identic), maka :

det (A) = 0

·         Jika salah satu baris (kolom) matriks A merupkan kelipatas dari baris (kolom) lain, maka :

det (A) = 0

·         Jika setiap elemen dalam satu baris matriks A dikalikan dengan skalar k, maka :

det (A) = k det (A)

·         Jika setiap elemen pada salah satu baris 9kolom) matsiks A dikalikan dengan konstanta kemudian ditambah ke baris (kolom) lain, maka :

det (A) = det (A)

·         Jika salah satu baris (kolom) matsiks A dipertukarkan dengan baris (kolom) lain, maka :

det (A) = – det (A)

·         Jika A dan B adalah matriks ukuran n x n, maka :

det (AB) = det (A) x det (B)

·         Determinan matriks diagonal merupakan perkalian dari elemen diagonal utama, maka : 

det (U) = U₁₁U₂₂U₃₃…U_nn

det (L) = l₁₁l₂₂l₃₃…l_nn

Dekomposisi Matriks

Dekomposisi matriks adalah memodifikasi atau merubah matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan atau matiks segitiga atas (U).

Sedemikian rupa sehingga :

A = LU

Teknik dekomposisi matriks, A = LU :

1.   Metode Crout

Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah  satu.

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

Contoh

Soal

  =  

                      =         

Jawab

Literasi I =

 =            =           =           =

Ø       = 2              = 3              = 2              = 2

Literasi II =

Ø        =   =  = 1

Ø        =   =  = 2

Ø        =   =  = 0

Literasi III =

Ø       =  -  .

      = 2 – (3 . 1) = -1

Ø       =  -  .

      = 4 – (2 . 1) = 2

Ø       =  -  .

      = 1 – (2 . 1) = -1

Literasi IV =

Ø       = 

       =   = 6

Ø       = 

       =   = -1

Literasi V =

Ø       =  -  .- . 

      = 1 – (2.2) – (2. 6)

      = 1 – 4 - 12 = -15

Ø       =  -  .- .

      = 4 – (2.2) – ((-1). 6)

      = 4 – 4 + 6 = 6

Literasi VI  =

Ø       = 

       = 3 – (2. 0) – (2.1) = 1

Literasi VII =

Ø       =  -  .- . - .

      = 3 – (2.0) – (2.(- 1))

      = 3 -0 + 2 =

            

Det (A) = (2) (-1) (-15) (2)

            =  60

Det (B) = (1) (1) (1) (1)

            =1

Det (AB) = 60 . 1

                = 60

·         Metode Doolittle

Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah satu.

Contoh

Soal

  =  

Jawab

Literasi I =

Ø       =  2

Ø       =  2

Ø       =  4

Ø       =  0

Literasi II =

Ø       =   

Ø       =    =  1

Ø       =    =  1

Literasi III =

Ø       =  2 – ( . 2) = -1

Ø       =  0 – ( . 4)  = -6

Ø       =  1 – ( . 2) = -1

Literasi IV =

Ø       =    = -2

Ø       =    = 1

Literasi V =

Ø       = 

       = 1 – 4 – 12 = -15

Ø       =  3-1.0-(-2).1

       = 3 – 0 + 2 = 5

Literasi VI =

Ø       =    

       =  =

Literasi VII =

Ø       =  1 – (1.0) – (1.1) – ()

       = 1 – 0 – 1 + 2 = 2

                  

Det (A) = (1) (1) (1) (1) = 1

Det (B) = (2) (-1) (-15) (2) = 60

·         Metode Cholesky

Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris.

·         Metode Operasi Elementer

Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah.